Benfords Gesetz und die Kunst, in Multiple-Choice-Tests erfolgreich zu sein

Bereits in den 1930er Jahren entdeckte der amerikanische Physiker Frank Benford, dass die erste Ziffer in bestimmten Zahlenlisten viel wahrscheinlicher eine 1 als eine 9 ist. Er testete diese Idee an einer Vielzahl von Datensätzen wie der Oberfläche von Flüssen, a Liste der physikalischen Konstanten und sogar die Straßenadressen der ersten 342 Einträge in American Men of Science.



In jedem Fall fand er das gleiche Muster. Dass die Zahl 1 zu 30 Prozent die erste Ziffer ist, die Zahl 2 zu 18 Prozent die erste Ziffer ist, die Zahl 3 zu 13 Prozent die erste ist und so weiter, bis die Zahl 9 an erster Stelle steht nur 5 Prozent der Zeit.

Er fuhr fort, das Benfordsche Gesetz vorzuschlagen: dass die Verteilung der ersten Zahlen in vielen, aber nicht allen Datensätzen dem gleichen logarithmischen Muster folgt. Es stellt sich heraus, dass diese Eigenschaft für viele Datensätze mit physikalischen Größen gilt, aber nicht für zufällig generierte Zahlen, bei denen die Verteilung der ersten Ziffern gleichmäßig ist.





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Heute, 60 Jahre später, ist Benfords Gesetz berühmt. Die bekannteste Anwendung ist die Aufdeckung von Betrug. Das ist möglich, weil sich herausstellt, dass die Verteilung der ersten Ziffern in den Konten eines Unternehmens dem Benfordschen Gesetz folgt. Jede Abweichung davon ist also ein guter Beweis dafür, dass jemand die Bücher gekocht hat. Und dies hat zum Untergang verschiedener Betrüger geführt.

Aber das wirft eine interessante Frage auf: Wo sonst könnte Benfords Gesetz sinnvoll eingesetzt werden?

Heute haben Aaron Slepkov von der Trent University in Peterborough, Kanada, und ein paar Freunde einen Vorschlag gemacht. Sie weisen darauf hin, dass die Antworten auf Multiple-Choice-Prüfungsarbeiten in Physik dem Benfordschen Gesetz folgen müssen. Aber wenn die falschen Antworten zufällig ausgewählt werden, folgen sie nicht dem Benfordschen Gesetz.



Kann also ein unternehmungslustiger Student mit Verständnis für das Benfordsche Gesetz, aber wenig Verständnis für Physik, einen Vorteil erlangen?

Um das herauszufinden, simulierten Slepkov und Co eine solche Multiple-Choice-Prüfung mit 5000 Scheinfragen. Für die richtigen Antworten verwendeten sie einen Datensatz mit Zahlen, die aus den Antworten auf echte physikalische Fragen stammten. Die falschen Antworten entnahmen sie jedoch einem Datensatz von Zufallszahlen, bei dem die ersten Ziffern gleichmäßig verteilt sind (d. h. die erste Ziffer ist mit gleicher Wahrscheinlichkeit eine der Ziffern von 1 bis 9).

Die beste Strategie bei einem solchen Multiple-Choice-Test besteht darin, die Antwort mit der niedrigsten ersten Ziffer zu wählen. Und wenn zwei oder mehr Antworten dieselbe niedrigste Ziffer haben, wählen Sie.

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Und das haben Slepkov und Co bei den Tests gemacht. Die Ergebnisse sind schlüssig. In einem Multiple-Choice-Test mit 3 Antwortmöglichkeiten ergab diese Strategie eine Punktzahl von 51 Prozent. Das ist ein klares Bestehen, obwohl die Antworten ohne Kenntnisse der getesteten Physik gewählt wurden.



In gewisser Weise ist das nicht wirklich überraschend. Das Benfords-Gesetz besagt, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die erste Ziffer eine 1, 2 oder 3 ist, größer als 50 Prozent ist, und dies führt zu einer klaren Verzerrung für jemanden, der sich auskennt.

Aber funktioniert diese Strategie für echte Prüfungen? Slepkov und Co haben es mit einem Datensatz bekannter Multiple-Choice-Prüfungen in Physik getestet und ihre Ergebnisse überraschen.

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Die vom Benford-Gesetz vorgeschlagene Strategie bietet keinerlei Vorteile. Sie stellten fest, dass es unmöglich war, auf diese Weise eine Physikprüfung zu bestehen.

Woher? Slepkov und Co haben sich in diesen Papieren die richtigen Antworten und auch die Scheinantworten genauer angeschaut und dabei etwas Überraschendes gefunden. Während die echten Antworten dem Benfordschen Gesetz folgen, tun dies auch die falschen Antworten. Es gibt also keinen Unterschied in der Verteilung der ersten Ziffern, den ein unternehmungslustiger Schüler ausnutzen kann.

Warum die falschen Antworten genau dem Benfordschen Gesetz folgen, ist nicht klar. Sie sind offensichtlich keine Zufallszahlen, also wie können sie ausgewählt werden? Slepkov und Co. diskutieren eine Reihe von Möglichkeiten, von denen die vielleicht offensichtlichste ist, dass sie Antworten auf andere Fragen sind und selbst physikalische Größen sind. Aber es gibt auch andere Möglichkeiten.

Das wird eine Enttäuschung für die Legionen von Physikstudenten sein, die dies lesen und die hofften, mit geringen oder keinen Kenntnissen in ihrem Fach auszukommen.

Für diese Schüler bieten Slepkov und Co. einen Hoffnungsschimmer. Sie weisen darauf hin, dass die Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort auf eine physikalische Frage, die mit den Ziffern 1, 2 oder 3 beginnt, bei über 50 Prozent liegt. Aber auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Antwort mit 7, 8 oder 9 beginnt, beträgt nur 15 Prozent.

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Sie schließen also damit:

Ein kleiner Rat, den wir dem testweisen Schüler geben können, ist folgender: Wenn Sie am Ende einer langen Prüfung mit konstruierten Antworten wenig Zeit haben, die Antworten auf alle Fragen noch einmal zu überprüfen, verbringen Sie Zeit damit Fragen, die endgültige Antworten mit den größten führenden Ziffern ergaben; Es wird erwartet, dass Fragen nur in 15 % der Fälle Antworten mit führenden Ziffern 7, 8 oder 9 enthalten.

Viel Glück!

Ref: arxiv.org/abs/1311.4787v1 : Benford’s Law: Lehrbuchübungen und Multiple-Choice-Testbänke

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